اجسامی که همیشه در تعادل هستند

تعادل و پایداری، چیزی که در تصاویر زیر می‌بینید نمونه هایی از تعادل (مکانیکی) هستند. حتما نمونه های زیادی از این پدیده را دیده اید.

اما چرا؟ چگونه؟ و بر چه اساسی این سیستم ها پایدار هستند؟

 

احتمالا تا کنون نمونه هایی از عروسک های تعادل را دیده اید. اگر آن‌ها را کج کنیم، باز به حالت اولیه خود برمی‌گردند؛ و در یک تعادل پایدار قرار دارند.

چرا این سیستم ها به حالت اولیه خود برمی‌گردند؟ چه چیزی باعث می‌شود که این سیستم ها مقید به یک حالت خاص باشند؟

با ما در ساینس‌آنلاین همراه باشید تا به بررسی این پدیده از دیدگاه علم فیزیک بپردازیم.

[divide icon=”circle” width=”medium”]

 

تعادل چیست ؟

شرط تعادل

شرایط تعادل از نظر فیزیک، این‌گونه تعریف می‌شود:

۱-تکانه خطی (p) مرکز جرم جسم ثابت باشد.

۲-تکانه زاویه آن (L) حول مرکز جرم ثابت باشد.

   

انواع تعادل

سه نوع تعادل به نام های «تعادل طبیعی»، «تعادل پایدار» و «تعادل ناپایدار» داریم.

تعادل پایدار

یعنی هر تغییر مکانی از این موقعیت منجر به نیروی بازگرداننده‌ای می‌شود که تمایل به بازگرداندن جسم به موقعیت تعادلش را دارد. در این حالت انرژی پتانسیل حداقل است.

تعادل ناپایدار

یعنی هر تغییر مکانی از این موقعیت منجر به نیرویی می‌شود که تمایل به راندن ذره به نقطه‌ای دورتر از موقعیت تعادلش را دارد. در این حالت برای تغییر موقعیت ذره، نیاز به انجام هیچ کاری توسط عامل خارجی بر روی آن نمی‌باشد. در این شرایط انرژی پتانسیل حداکثر است. کار انجام شده برای تغییر مکان جسم، باعث کاهش انرژی پتانسیل می‌شود.

تعادل خنثی

در این حالت ذره می‌تواند بدون تحمل یک نیروی راننده یا یک نیروی بازگرداننده به میزان جزئی تغییر مکان یابد. در این حالت انرژی پتانسیل ثابت است. در مورد شرط تعادل دورانی، یک کره واقع بر سطح یک میز که تحت تاثیر یک نیروی افقی قرار دارد را در نظر بگیرید. انرژی پتانسیل کره در مدت این تغییر مکان ثابت است و در صورت برداشتن نیروی اعمالی، سیستم تمایل به حرکت در هیچ جهتی را ندارد.

 

شرط پایداری

چیزی که ما با آن سر و کار داریم (در رابطه با عروسک های تعادل) تعادل پایدار است. پس باید ببینیم شرایط یک تعادل پایدار علاوه بر شرایط عمومی تعادل چیست.

در تعادل ایستا علاوه بر دو شرط بالا باید مقدار p صفرشود. تا یک تعادل ایستا داشته باشیم.

اما چرا در عروسک های تعادل، عروسک به حالت اولیه خود برمی‌گردد؟

ابتدا باید با مفهوم مرکز جرم و مرکز ثقل آشنا شویم.

مرکز جرم

مشاهدات دقیق حرکت این نکته را نمایان می کند که در حرکت اجسامی که ابعاد قابل توجهی دارند همواره می توان نقطه ای یافت که مسیر حرکت آن شبیه مسیر حرکت ذره است. این نقطه را مرکز جرم می نامند. مرکز جرم نقطه ای است که به نمایندگی از کل جسم یا کل ذرات یک سیستم می تواند بیانگر حرکت سیستم یا جسم باشد. این گفته بدین معنی است که ما می توانیم مکانیک کلاسیک (دینامیک و سینماتیک) خود را با استفاده از این نقطه به راحتی تشریح کرده و توصیف کنیم. برای هر سیستم در هر زمان و مکانی، یک محل منحصر به فرد به نام مرکز جرم وجود دارد که آن را با cm , c.o.m و یا COM نشان می دهند و محاسبه آن به صورت زیر است:

که r_cm مکان مرکز جرم، M جرم جسم و m_i جرم قسمتی از سیستم (جسم) است که در مکان r_i قرار دارد. در حالت کلی سیستمی که ما آن را مطالعه می کنیم دو وضعیت متفاوت می تواند داشته باشد:

• سیستم از ذراتی گسسته تشکیل شده باشد که ما جرم هر ذره را با m_i مشخص میکنیم.
• سیستم از ذراتی پیوسته تشکیل شده باشد که ما جرم هر جز کوچک از این جسم را با m_i نمایش می دهیم.

برای سیستم هایی که جرم پیوسته دارند (مانند شکل سمت چپ) این رابطه به فرم انتگرالی زیر تبدیل می شود:

مرکز ثقل

گرانیگاه چیست؟ گرانیگاه یا مرکز گرانش نقطه ای منحصر به فرد (همانند مرکز جرم) در جسم است که به نمایندگی تمام ذرات جسم، نیروی گرانش به آن نقطه وارد می شود. گرانیگاه با به صورت های CG، c.g نشان می دهند. در یک میدان گرانشی g_i غیر یکنواخت گرانیگاه از رابطه زیر محاسبه می شود:

که r_cg مکان گرانیگاه، W وزن جسم و w_i= m_i g_i وزن قسمتی از جسم است که در مکان r_i قرار دارد. بنابر این تعاریف فرم دیگر رابطه به صورت زیر است:

برای اجسام کوچک و در نزدیکی سطح زمین که می توان گرانش را یکنواخت در نظر گرفت (g=g_i) و می توان رابطه بالا را ساده کرد، در نهایت به همان رابطه مرکز جرم می رسیم و گرانیگاه بر مرکز جرم منطبق می شود r_cg=r_cm .

روش های متفاوتی برای محاسبه و بدست آوردن مکان مرکز جرم وجود دارد که به کمک آن ها می توان مرکز جرم بسیاری از اجسام را محاسبه کرد ولی در این میان اجسامی هم وجود دارند که این محاسبات برای آن ها بسیار سخت یا پیچیده شود. یکی از راه هایی که برای پیدا کردن این نقطه در اجسامی (اجسام با ضخامت کم و سطوح) که شکل های نامتعارفی دارند آویزان کردن آن ها از نقاط مختلف است. برای این کار آن را از چند نقطه مختلف، در حالی که به نقطه آویز یک ریسمان که به انتهای آن وزنه ای متصل شده، آویزان می کنیم؛ محل طلاقی ریسمان در حالت ها متفاوت مرکز جرم جسم است.

یکی دیگر از روش ها محاسبه دستی با استفاده از روابط ذکر شده است. به علاوه نرم افزارهایی هم هستند که برای این کار طراحی شده اند و به کمک آن ها می توان مکان دقیق مرکز جرم را مشخص نمود.

حال که با مفهوم مرکز جرم و مرکز ثقل آشنا شدیم، می خواهیم توضیح دهیم چرا هنگامی که عروسک شکل-۶ را رها کنیم به حالت قائم باز می گردد؟

این گونه وسایل همواره موجب تعجب ما می شوند؛ زیرا با تصور اولیه ما برابر نیستند.

همان طور که گفته شد شناخت مرکز جرم یا مرکز ثقل در بررسی دینامیکی اجسام مختلف بسیار مفید است. مثلا یکی از نیروهای خارجی که به یک جسم وارد می شود نیروی گرانش است. این نیرو که همواره به سمت مرکز زمین است می تواند سبب سقوط اجسام شود. اگر جسمی از حالت تعادل خود خارج شود نیروی گرانش سبب ایجاد گشتاوری می شود که جسم را در جهت گشتاور ورودی دوران می دهد.

پس وقتی جسمی کج می شود پای یک گشتاور هم به میان می آید، اکنون این سوال پیش می آید که چه اجسامی پس از کج شدن سقوط می کنند و چه اجسامی به حالت اولیه باز می گردند؟

پاسخ این سوال به صورت زیر خلاصه می گردد:

«اگر از گرانیگاه یک جسم خطی مستقیم به طرف مرکز زمین (جهت نیروی گرانش) رسم کنیم، در صورتی که این خط از تکیه گاه جسم بگذرد جسم ما در تعادل است؛ در غیر این صورت جسم سقوط خواهد کرد.»

شاید تصاویری مهیج از لحظاتی که عده ای اتومبیل خود را بر روی دو چرخ نگه می دارند دیده باشید، در ابتدای امر کار بسیار سختی به نظر می رسد ولی اگر مقدار کمی فیزیک بدانید شاید شما هم بتوانید این کار را انجام دهید. (البته با توجه به خطرات فراوان این کار و وجود عوامل تأثیر گذار دیگری در انجام صحیح این حرکت که اکنون موضوع بحث ما نیستند، به هیچ وجه توصیه به انجام اینکار نمی کنیم!)

دو شکل بالا را به دقت نگاه کنید؛ مشاهده می کنید که اگر از مرکز جرم (مرکز ثقل) اتومبیل خطی مستقیم به سمت زمین رسم کنیم در وضعیتی که این خط از تکیه گاه بگذرد اتومبیل به تعادل رسیده و در غیر این صورت واژگون خواهد شد. این تعادل بحرانی است زیرا اگر مرکز ثقل از مکان فعلی خود اندکی جابجا شود و از این امتداد خارج شود سبب واژگونی اتومبیل می شود. استفاده از لاستیک های پهن و کم کردن باد لاستیک ها می تواند سطح تکیه گاه را افزایش دهد و برقراری تعادل اتومبیل را آسان تر نماید.

اکنون که دانستیم چه اجسامی در تعادل هستند می توانیم اجسامی را طراحی کنیم که تعادل های پایداری داشته باشند، یعنی بتوانیم آن ها را از وضعیت خود خارج و کج کرده اما این اجسام خود به خود به حالت اولیه خود باز گردند. مطلب خود را با این پیش فرض ادامه می دهیم که خواننده نحوه محاسبه مرکز را می داند.

 

در مجموع دو وضعیت مختلف داریم که به تفکیک این دو را بیان خواهیم کرد.

برای مثالی از این دو وضعیت می توان عروسک شکل ۶ و پرنده شکل ۹ را نام برد.

حالت اول:

یک نیمکره توخالی به جرم m و شعاع r و چگالی سطحی یکنواخت فرض می کنیم. با محاسبه ساده‌ای می‌توان نشان داد که مرکز ثقل نیم‌کره به فاصله r/2 از مرکز و داخل نیم‌کره و روی محور تقارن آن قرار دارد. حال نیم‌کره را روی زمین قرار می‌دهیم و مطابق شکل ۱۰ آن را کج کرده و از حالت قائم دور می‌کنیم. لازم به ذکر است که برای جلوگیری از حرکت انتقالی، نیروی اصطحکاک f_s وجود دارد (بردارهای نیرو با رنگ قرمز مشخص شده‌اند). نیروی عمودی N از زمین به سطح نیم‌کره عمود وارد می‌شود؛ بنابراین از مرکز آن می‌گذرد. گشتاور نیروهای وارد بر جسم را نسبت به نقطه تماس نیم‌کره با زمین حساب می‌کنیم. با توجه به شکل ۱۰ می‌توان فهمید که نیروی عمودی سطح و نیز نیروی اصطحکاک، در تعیین گشتاور دخالتی ندارد (گشتاور آنها صفر می‌شود زیرا به نقطه دوران وارد می‌شوند و بازوی گشتاورشان صفر است) و باید فقط گشتاور نیروی وزن محاسبه شود. اندازه گشتاور لحظه ای نیروی وارد ، r mg sinθاست که موجب بازگشت جسم به حالت اول می‌شود. با این روش می توان گشتاور را در هر حالت دیگر نیز نسبت به نقطه تماس نیم‌کره با زمین محاسبه کرد و نتایج مشابهی به متغیر هستند. بنابراین هنگامی که امتداد نیروی وزن از نقطه تماس نیم‌کره با سطح زمین عبور نکند، جسم به حالت اول باز خواهد گشت.

 

 

 

برای موارد مشابهی که یک نیم کره در زیر جسم ما قرار دارد، هنگام کج شدن نیروی عمود بر سطح N به آن وارد می شود که در سطوح کروی بردار عمود بر سطح از مرکز کره می گذرد، بنابراین اگر مرکز جرم پایین تر از مرکز نیم‌کره و درون آن باشد گشتاور نیروی وزن سبب پایداری جسم خواهد شد. مثلا در همین عروسک اگر مرکز جرم استوانه بالایی که دارای جرم m (جرم نیم کره) و شعاع r (شعاع نیم‌کره) است، در h/2 واقع باشد، (شکل ۱۱) مرکز جرم مجموعه بر روی خط واصل دو مرکز جرم واقع خواهد شد که داریم:

اگر h<r مرکز جرم مجموعه درون نیم کره می افتد و تعادل پایدار است.

اگر h=r مرکز جرم مجموعه روی مرکز نیم کره می‌افتد و همانند یک کره منفرد تعادل بی تفاوت است.

اگر h>r مرکز جرم مجموعه درون استوانه می‌افتد و تعادل ناپایدار است.

با توجه به این مسئله می توان اجسامی را طراحی کرد که با استفاده از این قابلیت تعادل های پایداری داشته باشند.

 

حالت دوم:

موز خمیده روبرو را در نظر بگیرید، محل تقریبی مرکز جرم آن نشان داده شده است که نقطه‌ای میان خمیدگی آن و خارج موز است. حال اگر این موز را مانند شکل ۱۲ بر روی یک تیغه قرار دهیم چه اتفاقی می افتد؟ سقوط می کند یا بر روی تیغه می ماند؟

 

پاسخ این پرسش را اکنون بررسی خواهیم کرد.

همان طور که مشاهده می کنید در محل تماس تیغه با موز که همان تکیه گاه است نیروی عمود بر سطحی به جسم وارد می شود. از طرف دیگر به مرکز جرم نیروی وزن وارد می شود، این نیرو سبب ایجاد یک گشتاور می شود و جسم را دوران می دهد. این نیرو (به دلیل وجود اصطحکاک) میرا (نیرویی را میرا گوییم که با گذشت زمان بزرگی آن کاهش یابد؛ نهایتاً مقدار آن صفر شود و از بین برود.) است و نهایتاً جسم در وضعیتی قرار می گیرد که مرکز جرم و تکیه گاه در امتداد قائم در یک راستا قرار بگیرند. در این حالت نیروی وزن و تکیه گاه یکدیگر را خنثی کرده و جسم بدون حرکت باقی می ماند. با استفاده از این اصول ساده به راحتی می توان اجسامی را طراحی کرد که تعادل های پایداری داشته باشند فقط نباید فراموش شود که شرط پایداری تعادل در این گونه اجسام این است که مرکز جرم آن ها پایین تر از تکیه گاه باشد.

 

 

در پایان هم می توانید از این فایل استفاده کنید و یک پرنده متعادل مثل تصویر ۹ بسازید.

Download “Balancing Bird Toy Pattern” BalancingBirdToyPatternPage_000.pdf – 556 بار دانلود شده است – 829 کیلوبایت

با تشکر از حبیب مرادی بابت در اختیار قرار دادن این مطلب

(برگرفته از : مرادی، حبیب؛ اجسامی که همیشه در تعادلند؛ نشریه طیف، شماره ۱۴)